駒澤塾:中学受験の算数・理科

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倍数算と倍数変化算:その2

「倍数算と倍数変化算」の2回目として<倍数変化算>を比例式で解く方法です。 慶應中等部の過去問を例題にしました。 

 

慶應中等部の2012年(平成24年)の入試から大問2の(3)です。

【問題】

はじめに、兄と弟が持っている鉛筆の本数の比は7:5でしたが、兄は友達から鉛筆を12本
もらい、弟は友達に鉛筆を4本あげたので、兄と弟の鉛筆の本数の比は12:7になりました。
はじめに兄が持っていた鉛筆は【  】本です。

 

【解き方】

とりあえず前回のフォームに問題の数字を埋めてみます。

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ご覧のように一定のものが有りません。 

 

今回の解き方では、まず次のような<比例式>を作らせます。

( ⑦ + 12 ) : ( ⑤ - 4 ) = 12 : 7

手順1: 間隔を空けて兄と弟の初めの比 ⑦と ⑤ を書く

手順2: 兄は12本増えたから「+12」、弟は4本減ったから「-4」

手順3: 両方の式をカッコでくくり、間に比の記号「 : 」を書く

手順4: 等号でつないで右辺に 12 : 7 を書く

これで<比例式>が書けました。 

 

<外項の積=内項の積>を使って等式の形にし、式の変形を使って答えを出します。

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   84 + 48 = 132 ・・・ 60 - 49 の ⑪ に相当

   よって 132 ÷ ⑪ × ⑦ =  84 

答え  84本 

 

式の変形のうち、最後の移項は線分図を使って解いています。 

分配則、結合則、文字項と定数項の扱いなどは受験算数の中で普通に使いますが、移項(正負の入れ替え)は大人が想像する以上に難しいことです。 私はそれを新中1対象の入学前特別講座で教えた際に肌身で感じました。 

komazawajuku.hatenablog.com

現在の予習シリーズには<倍数算>は比をそろえて解き、<倍数変化算>は<比例式>を使って解くという解説が載っています。 教え易い方法ですが、ふたつの間に連続性が無いので生徒は問題文を読んだ時点でどちらの解法を使うか判断しなければなりません。 

かって選択に迷う生徒が居たため、導入授業では「とりあえず倍数算のフォームに数字を埋めてみる」という作業をさせています。 もちろん、見分けが付くようになったらこの作業は不要です。 

 

予習シリーズは小5下巻の冒頭、第1回と第2回で中学受験の重要知識である「比」を学びます。 <倍数算>と<倍数変化算>はこの第2回の最後に登場します。 いわば比の総集編として「比をそろえる」操作や<比例式>などを使いこなす演習をする訳で、「解法の習得」を演繹的に学習するカリキュラムとして合理的だと思います。

 

次回は<倍数算>と<倍数変化算>のどちらも線分図で整理して解く方法です。

 

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