昨日、問題だけ掲載した世田谷学園2009年（平成21年）第１次入試の大問５番と、それの応用題として田園調布2009年（平成21年）第３回入試から大問２の解説です。 受験単元は＜平面図形＞＜60度定規＞にあたります。
まずは世田谷学園の問題を再掲します。
【問題】
図のように、３つの角の大きさが30度、60度、90度の直角三角形を、点Ｏのまわりにすきまなく並べていきます。 ＯＡの長さを10ｃｍとするとき、次の問いに答えなさい。
（１） ＯＣの長さを求めなさい。
（２） 三角形ＯＡＢを１番目として、９番目の直角三角形の最も短い辺の長さを求めなさい。
【解説】
昨日書いた解法のポイント＜60度定規を見たら正三角形にして考えてみる＞ということを＜問題に書き込むという作業＞の形で実行するのが第一歩です。
腕組みをして問題をにらむだけで解こうとしている場合、一刻も早く紙に書いて考えるという癖をつけさせましょう。 マジック・ナンバー・オブ・セブンの壁を越えさせるために非常に有効です。
そして次にするのは＜平面図形＞を解くときの基本である次の２つです。
・ わかった事を書き込む、知りたい所を目立たせる。
・ 長さや面積を尋ねられたら角度を調べる。逆に角度を尋ねられたら長さを調べる。
上の書き込みをした図を載せます。
(手順１)辺ＢＯに線対称になるように三角形ＡＢＯを裏返して三角形ＺＢＯを書き込みます。
(手順２)長さや角度などの分かるものを書き込みます。
(手順３)知りたい長さ（辺ＯＣ）に□を書き込みます。
(手順４)三角形ＡＺＯは正三角形ですから辺ＯＺは10ｃｍ、よって辺ＣＺが分かればＯＫ。
(手順５)書き込んだ角度で三角形ＢＣＺも斜辺が5cmの60度定規であると気付く。
（１）
10cm － ( 5cm ÷ ２ ) ＝ ７．５ｃｍ
（２）
こちらは少し難しいですね。 なまじピタゴラスの定理を知っている大人が＜地味にコツコツ＞計算して答えを出そうとすると・・・地獄を見ます。
中学入試の算数で大問の後ろの方の枝番の問題が難しい場合、そこまでの枝番で得た知識や数字を使えないか考えてみることが鉄則です。
今回の問題の（１）で得た７．５ｃｍという答えは何でしょう？ 三角形ＢＣＯの真ん中の長さの辺であると同時に、三角形ＣＤＯつまり③番目の三角形の斜辺の長さでもありますよね。 並んでいる三角形は全て角度が同じ、つまり相似形です。 ③番目の三角形ＣＤＯは①番目の三角形ＡＢＯの４分の３倍の相似形ということです。 奇数番目の三角形は４分の３ずつ小さくなるというルールが見つけられれば、あとは出来るだけ楽に計算をする工夫をするだけです。 解答は分数の形になってここには書きづらいので先ほどの図に書き込みました。
大人にとっては難しいこの問題も、ここまでに挙げたような解き方の引き出しを身に付けた受験生はさらっと解いてしまいます。 小６の２月までにどこまで解法の引き出しを溜めることができるか、それが合否を分けるポイントです。
続いて＜60度定規＞問題 の応用題として田園調布2009年（平成21年）第３回入試から大問２の（３）を紹介します。
この大問の（１）と（２）は省略しますが、以下のような設問で難度が高めの（３）への準備として受験生に解法知識を思い出させています。
（１） ＜60度定規＞を線対称の位置に書き足したときにどうなりますかという設問で＜正三角形＞を作らせて、＜60度定規＞の短辺は斜辺の半分の長さであると気付かせています。
（２） 頂角が30度の二等辺三角形を題材にして面積を問う設問で、補助線を引いて＜60度定規＞を作れば高さが得られることを気付かせています。
【問題】・・・（問題の文章を省略の整合性をとるために若干変更しています。）
（３） （１）で得られた知識を使って、［図３］の二等辺三角形ＨＩＪで、辺ＨＩを底辺としたときの高さを求めなさい。
【解説】
180度 － 150度 ＝ 30度 を使って問題の二等辺三角形の「外に」60度定規を作るのですが、ではどうやってそれを見つければ良いのでしょう？ ここで解法のポイントを紹介します。
＜三角形の面積は直角を探せ！無ければ作れ！＞です。
言われてみれば当たり前のことですけれど、底辺と高さは「必ず直交します」から、この問題のように底辺を指定された場合だけでなく、＜底辺になりそうな直線に対して直角で、かつ長さの分かりそうな場所を探す＞というのが解法のコツになる訳です。
※例によって生徒の過去問演習ノートに殴り書きしたメモなので字が汚いです。
同じ図形を使った問題でも、二等辺三角形の頂角である150度を書かずに15度だけを記載して、そこから60度定規を見つけさせる形にすると難易度がぐっと上がります。
