駒澤塾:中学受験の算数・理科

中学受験の算数・理科を中心に書いて行きます。駒澤が旧字体なのは検索をしやすくするためです。

約数の個数が5個以上の解法

慶應義塾中等部2019年(平成31年)大問2の(1)を例題として解き方を解説します。 また約数が5個以上となるような整数について、10個まで素因数分解の式のパターンを並べました。 

 

昨日の記事では絶対必須である約数が4個までの数の知識を書きました。 

komazawajuku.hatenablog.com

 

本日の例題は、慶應義塾中等部 2019年(平成31年)大問2の(1)です。 

たった一行のシンプルな問題です。 

 

【問題】

約数の個数が6個で,90との最大公約数が15である整数は[ | ]です。 

  (実際の解答欄は、2桁の整数を書き込む形の枠でした。)

 

【解説】

この問題を読んだ瞬間、生徒は連除法(スダレ算)を書き始めるはずです。 

f:id:komazawajuku:20220131160150j:plain

分かることを箇条書きにしてみると、

 ア)求めるのは解答欄から2桁の整数である

 イ)その整数は15の倍数である

 ウ)15で割った商(図のx)は6と「互いに素」である

・・・と、ここまで書いたら、あらら、解けちゃった。 

図のxの値って、どうみても5しか無いですよね? 

5 × 15 から逆算した数の「75」を約数に展開してみると、

f:id:komazawajuku:20220131161058j:plain

はい、たしかに6個です。 

75を素因数分解の式で書いてみれば、

 75 = 3 × 5 × 5 

ですから、これで「抜けが無いかの確かめ」も終了。  

   答えは  75  

 

瞬時に正解が得られてしまいました。 

答えの数字の桁数が分からない形の解答欄だったら、もうすこし考えることを要求する問題になったはずです。 

 

今回の素因数分解の式を前回の記事の書式で書けば a × b × b となります。 

約数の個数が6個の整数は、それ以外に a × a × a × a × a というのも有ります。 

更に他のパターンは有るでしょうか? 

実は他には無いのです。 

 

約数の個数と、元となる整数を素因数分解の式の書式で表すと、こうなります。 

 2個: 

 3個: a × a

 4個: a × a × a または a × b

 5個: a × a × a × a

 6個: a × a × a × a × a または a × b × b

 7個: a × a × a × a × a × a

 8個: a × a × a × a × a × a × a または a × b × b × b または a × b × c

 9個: a × a × a × a × a × a × a × a または a × a × b × b

 10個: a × a × a × a × a × a × a × a × a または a × b × b × b × b

 

約数の個数が5個を超える問題は、御三家クラスの受験生なら準備が必須です。 

そのためには、

 ・上のような「式」の形で覚えてしまう

 ・仕組みを理解してパターンを組み上げられるようになる

という二つの方法が有ります。 

どちらの準備がベストとなるかは、生徒本人の特質とか狙う学校によって変わると私は考えます。 

 

次の記事で、仕組みを理解してパターンを組み上げる方法を説明します。 

 

逆に、御三家クラスの受験生なら「2個から10個までのパターンを示されて、そこからパターンを作るルールを見つける」という問題にチャレンジしてみるのも良い訓練になりそうです。 

ヒントは【約数の個数を求める式】です。 

 

 

f:id:komazawajuku:20220131201431j:plain



このブログはリンクフリーです
リンク(はてな用語で「言及」)に事前連絡は不要です
出典を示して頂けるならコピーペーストも自由にどうぞ。
って言うかリンクやツイートでgoogleの表示順が上がるので大歓迎