駒澤塾:中学受験の算数・理科

中学受験の算数・理科を中心に書いて行きます。駒澤が旧字体なのは検索をしやすくするためです。

鏡の問題はシャドウの作図で

鏡の反射に関する問題は「見える範囲」「反射像」「複数回の反射」が基本パターンです。 これらの問題はいずれも「シャドウ」を作図して考えると簡単に解くことができます。 

 

 シャドウの説明の前に

鏡による反射の単元では、まず最初に入射角と反射角はどこか?という設問が繰り返し尋ねられます。 入試でも「正解して当然」の設問として出題されます。 ところが光の単元に入ったばかりの頃は意外なほど正解率が低いのです。

考えてみると、ある界面への入射角、たとえば宇宙から地球に帰還する宇宙船の入射角と言われたら常識的には界面となす角度、ですよね。 垂直に突入する場合には90度になるわけです。 そのため、生徒の多くは界面となす角度を入射角と答えてしまいます。 

 

入射角(と反射角)について覚えるのは3秒で出来ます。 次の質問を考えさせるだけです。

 光の反射で入射角がゼロ度って、どんな状態?

入射角がゼロ度ってのは、鏡に垂直に光が入っている状態。 だから入射角は、鏡に垂直な線(法線)からのズレの角度です。 そう考えると簡単ですね。 

反射角も、屈折で出て来る屈折角も、法線からの角度ですので、丸覚えではなく法線からの角度というイメージを持てておくと後で楽です。 

 

それではシャドウを使った解法の説明です。 基本的な例題から始めます。

 

【問題】  (洗足学園 2008年(平成20年)第3回入試の大問1番から抜粋)

図1のように,鏡に対してア~カの位置にある物体を観察しました。園子さんから見て,鏡の中に映って見えるものはどれですか。 すべて選ぴ,記号で答えなさい。 (すべて正しく選んだ場合のみ得点とします)

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【解説】

鏡の問題の最も基本的な設問です。 洗足学園の元の問題ではこれが(1)で、この後に光に関する設問が続き、最後の(5)は回転ミラーを使った光の速度の測定という高度な内容でした。

 

解き方は単純で、「観察者」または「対象物」どちらかのシャドウを作図して、鏡を「窓」として考えた時に相手が見えるかどうか判断するだけです。

シャドウの作図というのも、鏡面(およびその延長)に下ろした法線を延長して、等距離の場所に点を書くだけです。(要は線対称の位置にマークするだけ。)

 

これだけですので、紹介したレベルの問題は瞬時に解けてしまうのですが「反射の問題を見た瞬間にシャドウを書き込む」というレベルまで生徒を持って行きたいので、少しくどいですが作図の実例を「観察者」および「対象物」ごとに示します。 

 

「観察者」のシャドウを書いた場合

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鏡面を左に延長し、 園子の線対称の位置に園子のシャドウ(赤点)を書きます。

鏡をガラス窓と考えて、それを通して見える物が答えです。 

よって、   イ、ウ、エ   (くんで要完答、不順可)

 

 

「対象物」のシャドウを書いた場合

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説明は省略します。

 

シャドウの記入は、鏡に関する「反射像」や「複数回の反射」の問題でも使えます。 それらについては改めて。

 

ちなみに、鏡で反射した光の軌跡の作図は、以下のような算数の問題を考える際の基礎になる知識であり、けっこう重要な概念です。 簡単と馬鹿にせず、しっかり取り組ませ理解させるべきと私は考えています。

● 川で水をくんでおばあちゃんの家に最短距離で行く問題。

● 直方体の表面にぴんと糸を張ると、展開図上で直線になることを利用する問題。

● 立方体の切断で、切断面が六角形になる問題での「扉を開く」テクニック。

 

受験勉強では、最終的には膨大な知識を覚える必要が有りますが、基本的な用語や知識を暗記した後に、それに続く取り組みとして情報のネット化、「あっ、これとこれは似ている!」という発見が出るようになると、新しい知識がすっと覚えられるようになります。

komazawajuku.hatenablog.com

 2021-05-06追記:

鏡による反射の入試問題で、難易度の高い「鏡を回転させた時の問題」に関して解説記事を書きました。

komazawajuku.hatenablog.com

 

 

 

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